logika matematika

TUGAS 16

Nama  : Yayu Sri Rachmawati

NPM   : 14509313

Kelas   : 1PA05

LOGIKA MATEMATIKA

Logika Matematika adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika. Yang memperjelas logika dengan kaidah-kaidah (aturan) matematika.

Trend perkembangan:

·         Logika proporsional

·         Logika predikat

·         Pemrograman logika

·         Logika fuzzy (logika kabur)

Objek logika adalah pernyataan-pernyataan yang memiliki arti dan memiliki satu nilai saja, yaitu benar atau salah.

1.        Logika Proporsional

Logika Proporsional adalah Logika yang memproses penarikan kesimpulan secara logis (logical derivation) dari proposisi-proposisi. Istilah lainnya adalah : Proportional Logic atau Proportional Calculus.

Proposisi adalah Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah.

Contoh:
Program komputer ini mempunyai bug.

Proposisi atau pernyataan ada yang berbentuk :

ü  Atomik (atomic proposition) : proposisi yang tak dapat dipecah menjadi beberapa proposisi.

Contoh : Anda harus belajar dengan rajin.

ü  Majemuk (compound proposition): gabungan dari beberapa proposisi atomik menggunakan perangkai (connectives).

Contoh : Anda harus belajar dengan rajin atau Anda akan gagal ujian.

2.        Bukan Proposisi

Pernyataan bukan proposisi adalah Pernyataan yang menimbulkan banyak pendapat. Misal :

ü  Angka 13 adalah angka sial.

ü  Angka 7 adalah angka keberuntungan.

ü  Ungu adalah warna janda.

ü  Kalimat perintah dan kalimat tanya.

ü  Badu, kerjakan tugas tersebut!

ü  Badu, apakah engkau sudah mengerjakan tugas?

Sebuah proposisi tidak boleh digantikan oleh proposisi lain meski memiliki makna sama. Contoh :

ü  A = Badu lapar.

ü  B = Badu kenyang.

ü  Bagaimanakah bentuk pernyataan “Tidak A”??

ü  Bolehkah “Tidak A” digantikan oleh B??

3.        Variabel Proporsional

Penggunaan huruf latin sebagai variabel proposisional, tanpa menghilangkan sifat utama proposisi.

Contoh:

ü  A = Badu lapar.

ü  B = Badu kenyang.

Huruf latin yang tidak boleh digunakan: T dan F --> konstanta proporsional.

4.        Argumen

Argumen adalah kumpulan pernyataan, yang disebut premis, dan diikuti oleh kesimpulan yang selaras dengan premis-premisnya.

Contoh:

ü  [1] Jika Anda rajin belajar, maka Anda lulus ujian.

ü  [2] Jika Anda lulus ujian, maka Anda senang.

ü  [3] Dengan demikian, jika Anda rajin belajar, maka Anda senang.

ü  Pernyataan [1] & [2] : premis, [3] : kesimpulan. 

SUMBER :

http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/11/pengantar-logika-matematika.html

PROPOSISI, KOMBINASI PROPOSISI, HUKUM LOGIKA PROPOSISI, DAN TABEL KEBENARAN

TUGAS 15

Nama  : Yayu Sri Rachmawati

NPM   : 14509313

Kelas   : 1PA05

PROPOSISI, KOMBINASI PROPOSISI, HUKUM LOGIKA PROPOSISI, DAN TABEL KEBENARAN

A.    PROPOSISI

Proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu memiliki nilai kebenaran, baik itu bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Berikut ini merupakan contoh kalimat yang merupakan proposisi maupun yang bukan.

1.         4 adalah bilangan genap.

2.         Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama

3.         Universitas Jendral Soedirman terletak di Temanggung.

4.         x + y = 2.

5.         Dimana letak pulau Jawa?

Kalimat 1 dan 2 adalah kalimat proposisi yang bernilai benar. Kalimat 3 adalah kalimat proposisi yang bernilai salah. Sedangkan kalimat 4 dan 5 bukan merupakan kalimat proposisi.

Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,….. misalnya:

p : 4 adalah bilangan genap.

q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

r : Uni∨ersitas Jendral Soedirman terletak di Temanggung.

B.     KOMBINASI PROPOSISI

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),  atau (or), dan  tidak (not).  Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Dalam logika, dikenal 5 buah operator seperti dijelaskan dalam tabel berikut ini.

Contoh:

p : Hari ini hujan deras.

q : Mahasiswa tidak kuliah.

Maka:

p ∧ q    : Hari ini hujan deras dan mahasiswa tidak kuliah.

p ∨ q   : Hari ini hujan deras atau mahasiswa tidak kuliah.

-p       : Hari ini tidak hujan deras.

p ∧ -q  : Hari ini hujan deras dan mahasiswa kuliah.

-(-p)  : Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan deras.

p ⇒ q   : Jika hari ini hujan deras, maka mahasiswa tidak kuliah.

p ⇔ q   : Hari ini hujan deras jika hanya jika mahasiswa tidak kuliah.

C.    HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Berikut adalah hukum-hukum logika yang berlaku pada proposisi.

1.        Hukum Identitas

p ∨ F ⇔ p

p ∧ T ⇔ P

2.        Hukum Null / dominasi

 p ∧ F ⇔ F

 p ∨ T ⇔ T

3.        Hukum Negasi

p ∨ -p ⇔ T

p ∧ -p ⇔ F

4.        Hukum Idempotent

p ∨ p ⇔ p

p ∧ p ⇔ p

5.        Hukum Involusi (negasi ganda)

-(-p) ⇔ p

6.        Hukum Penyerapan (absorpsi)

p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

7.        Hukum Komutatif

p ∨ q ⇔ q ∨ p

p ∧ q ⇔ q ∧ p

8.        Hukum Asosiatif

p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r

9.        Hukum Distributif

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

10.    Hukum De Morgan

- (p ∧ q) ⇔ -p ∨ -q

- (p ∨ q) ⇔ -p ∧ -q

D.    TABEL KEBENARAN

Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang memuat nilai kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika kalimat majemuk yang akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi tunggal, maka jumlah komposisi nilai kebenarannya ada 2n.

Tautologi dan Kontradiksi

Taulogi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan atau nilai kebenaran komponen-komponennya. Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika. Jadi dalam segala kemungkinan bentuk tabel kebenaran, maka selalu menghasilkan nilai True. Atau proposisi tersebut apabila dijabarkan dengan menggunakan hukum-hukum logika yang benar maka akan menghasilkan kesimpulan nilai akhir adalah True (T).

Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan dari premis-premisnya. Kadi, kontradiksi berlawanan dengan tautologi. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika. Jadi dalam segala kemungkinan bentuk tabel kebenaran, maka selalu menghasilkan nilai False. Atau proposisi tersebut apabila dijabarkan dengan menggunakan hukum-hukum logika yang benar maka akan menghasilkan kesimpulan nilai akhir adalah False (F).

SUMBER :

 http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/10/proposisi-kombinasi-proposisi-dan-tabel.html